35-letni prawy obrońca jest rekordzistą w historii tego klubu pod względem liczby występów na poziomie LaLigi. Łącznie rozegrał w jego barwach 295 spotkań, w których strzelił cztery gole i zanotował 26 asyst. W sezonie 2018/2019 z ekipą „Los Azulones” zajął piąte miejsce w ligowej tabeli, dzięki czemu brał następnie udział w rozgrywkach Ligi Europy.
Na najwyższym szczeblu rozgrywkowym w Hiszpanii Urugwajczyk oprócz Getafe występował również w barwach Elche i Sportingu Gijón.
Podczas gry w LaLidze prezentował bardzo agresywny i prowokacyjny styl gry, przez co obejrzał aż 115 żółtych i osiem czerwonych kartek.
W 2022 roku rozegrał siedem spotkań w reprezentacji Urugwaju, w których zanotował dwie asysty.
Według doniesień „Relevo” Damián Suárez może teraz trafić do brazylijskiego Botafogo, chociaż niewykluczony jest również jego powrót do ligi urugwajskiej, gdzie w przeszłości grał w barwach Defensor SC.
Getafe aktualnie zajmuje dziesiąte miejsce w LaLidze z dorobkiem 30 punktów po 23 kolejkach.
Poza Damiánem Suárezem zespół ten w ostatnim czasie opuścił także Stefan Mitrović, który przeniósł się do KAA Gent. Wypożyczeni zaś zostali Enes Ünal, Choco Lozano, Darío Poveda i Sabit Abdulai.