Škvarka swoje pierwsze piłkarskie kroki jako junior stawiał w drużynie Príbovce, z której przeniósł się do Fomat Martin. Tam występował przez dwa lata, dopóki w wieku siedemnastu lat nie trafił do MŠK Žilina, z której był potem dwukrotnie wypożyczany. Najpierw do Zemplinu Michalovce, następnie do Zlaté Moravce.
Dla MŠK Žilina ostatecznie rozegrał 237 spotkań, zdobywając 46 bramek i notując 61 asyst. Łącznie spędził tam dziesięć lat, grając regularnie nawet z opaską kapitańską na ramieniu. W sezonie 2016/2017 sięgnął z drużyną po mistrzostwo Słowacji.
Przez ostatnie dwa lata pomocnik natomiast grał dla węgierskiego Ferencvárosi TC, sięgając po dwa tytuły mistrzowski. W trakcie tych dwóch sezonów udało mu się rozegrać jednak tylko 26 ligowych spotkań. Po zakończeniu poprzednich rozgrywek klub nie zdecydował się jednak przedłużyć z nim umowy, dlatego pojawiła się szansa na dołączenie do Wisły.
Škvarka to dobry znajomy nowego szkoleniowca „Białej Gwiazdy”. Adrián Guľa współpracował bowiem z 28-latkiem jeszcze za czasów, kiedy obaj znajdowali się w drużynie MŠK Žilina.
- Michal Škvarka to piłkarz, który wzmocni środek pola Wisły. Może grać jako „ósemka” albo „dziesiątka”. Odznacza się bardzo dobrym przeglądem pola i techniką użytkową. Gwarantuje nam wiele aspektów, których szukaliśmy: doświadczenie, uniwersalność, znajomość systemu preferowanego przez trenera i przede wszystkim skuteczność w wykonywaniu stałych fragmentów gry. Związał się z naszym klubem dwuletnią umową z opcją przedłużenia o rok – skomentował Tomasz Pasieczny, dyrektor sportowy „Białej Gwiazdy”.
Dla Wisły to dziewiąty transfer w letnim oknie. Wcześniej do klubu dołączyli: Hubert Sobol, Alan Uryga, Jan Kliment, Dor Hugi, Kacper Rosa, Aschraf El Mahdioui, Mateusz Młyński oraz Mikołaj Biegański.