Niemiec jeszcze jako junior dołączył do FC Ingolstadt, gdzie najpierw występował w rezerwach, ale też stosunkowo wcześnie dostał szansę debiutu w pierwszym zespole. Od czasu swojego pierwszego meczu przeciwko Fortunie Düsseldorf rozegrał dla "Die Schanzer" 42 spotkania, w których strzelił jednego gola.
Po stosunkowo dobrym minionym sezonie w Bundeslidze i udanych Igrzyskach Olimpijskich, na których Niemcy dopiero po karnych musieli uznać w finale wyższość Brazylijczyków, piłkarz zdecydował przenieść się do Werderu. Bremeńczycy za swojego nowego defensora zapłacili 2,5 miliona euro. 21-latek związał się z "Die Grün-Weißen" kontraktem, który będzie obowiązywał do czerwca 2020 roku.
- Cieszę się, że udało nam się zrealizować ten transfer jeszcze w tym okienku. Robert to młody, bardzo perspektywiczny zawodnik, który idealnie pasuje do profilu tych szukanych przez Werder - przyznał dyrektor sportowy Frank Baumann.
Bauer jest już jedenastym piłkarzem, który tego lata zawitał na Weserstadion. Wcześniej do drużyny prowadzonej przez Viktora Skrypnyka dołączyli tacy gracze jak m.in. Florian Kainz, Thomas Delaney czy Max Kruse.