To pierwszy punkt wywalczony przez ten zespół po pierwszym w historii awansie do fazy grupowej europejskich pucharów.
KÍ Klaksvík został założony w 1904 roku, należy zatem do najstarszych klubów piłkarskich na Wyspach Owczych. Wygrał inauguracyjną edycję ligowych rozgrywek w 1942 roku. Później triumfował w nich jeszcze 20 razy. Więcej tytułów mistrzowskich ma na koncie tylko Havnar Bóltfelag.
W 2009 roku jak dotąd jedyny raz spadł z najwyższego poziomu ligowego, ale powrócił tam już po jednym sezonie.
W europejskich pucharach KÍ Klaksvík zadebiutował w sezonie 1992/1993. We wstępnej rundzie eliminacji do pierwszej edycji Ligi Mistrzów dwukrotnie przegrał wówczas z łotewskim Skonto Ryga.
Najwyższe zwycięstwo w kwalifikacjach europejskich rozgrywek odniósł, pokonując 6:1 gruzińskie Dinamo Tbilisi w 2020 roku. W bieżących eliminacjach do Ligi Mistrzów wyeliminował węgierski Ferencváros i szwedzki BK Häcken.
Trenerem tego zespołu od początku stycznia 2023 roku jest Magne Hoseth, w przeszłości 22-krotny reprezentant Norwegii.
Do najbardziej znanych zawodników w historii KÍ Klaksvík należą Todi Jónsson i Jákup Mikkelsen. Pierwszy z nich spędził także osiem lat w FC Kopenhaga i strzelił dziewięć goli dla reprezentacji Wysp Owczych. Natomiast drugi rozegrał ponad 500 meczów w lidze swojego kraju i 73 spotkania w narodowej drużynie.