Irlandczyk urodził się 24 lipca 1941 roku w Dublinie i w tym też mieście rozpoczął swoją przygodę z futbolem w barwach Stella Maris FC, gdzie dość szybko został wypatrzony przez wysłanników Shelbourne FC i w efekcie przeniósł się do tego zespołu przed startem sezonu 1958/1959.
Zawodnik występujący na lewym boku obrony nie zagrzał jednak zbyt długo miejsca w ekipie z Tolka Park, ponieważ w 1960 roku trafił z tej drużyny do Manchesteru United za około pięć tysięcy funtów.
Utalentowany defensor został wytypowany na jednego z graczy, który miał pomóc w odbudowie siły „Czerwonych Diabłów” po katastrofie lotniczej w Monachium z 1958 roku.
Tony Dunne w znakomitym stylu wywiązał się z powierzonego mu zadania i na przestrzeni trzynastu lat należał do czołowych graczy reprezentujący barwy klubu z Old Trafford, któremu pomógł sięgnąć po Pucharu Anglii (1963) czy dwa ostatnie mistrzostwa kraju (1964/1965 i 1966/1967) przed nastaniem ery sir Alexa Fergusona.
Irlandczyk stanowił również pewny punkt drużyny w Pucharze Europy Mistrzów Klubowych (obecna Liga Mistrzów) w sezonie 1967/1968, w którym to Manchester United zdobył swoje pierwsze europejskie trofeum pokonując po drodze Górnika Zabrze, Real Madryt i Benficę.
Lewy obrońca rozstał się z „Czerwonymi Diabłami” w 1973 roku po rozegraniu 535 spotkań dla ekipy z Old Trafford, co pozwala mu plasować się obecnie na ósmym miejscu na liście piłkarzy z największą liczbą występów w historii klubu.
Dunne przed zakończeniem kariery w 1980 roku zaliczył jeszcze pobyt w Boltonie oraz amerykańskim Detroit Express. Ponadto rozegrał 33 spotkań w reprezentacji Irlandii i w 1969 roku został uznany najlepszym graczem w kraju.