23-latek pierwsze piłkarskie kroki stawił w klubie FK Željezničar. W rodzimej lidze rozegrał 48 spotkań, w których zdobył 18 bramek. W 2015 przeniósł się do Konyasporu. Dobra dyspozycja w Turcji (łącznie 91 meczów, 29 bramek, 12 asyst) została zauważona przez skautów Udinese Calcio, którzy namówili sztab szkoleniowy włoskiego klubu na transfer. W Serie A Bośniak jednak kompletnie zawiódł, dlatego też zdecydował się na zmianę pracodawcy. Wybór ponownie padł na Turcję.
Bajić trafił do Başakşehir na zasadzie wypożyczenia do końca bieżącego sezonu. Turecki klub zagwarantował sobie możliwość pierwokupu zawodnika.
Napastnik rozegrał w bieżących rozgrywkach siedem spotkań, na które złożyło się pięć występów w lidze oraz dwa w pucharze Włoch. W ciągu 186 minut spędzonych na boisku nie udało mu się znaleźć sposobu na pokonanie bramkarza rywali.
Bośniak jest trzecim zimowym wzmocnieniem wicelidera ligi tureckiej. Wcześniej do drużyny prowadzonej przez Abdullaha Avciego dołączyli 30-letni ofensywny pomocnik Arda Turan i 21-letni prawy obrońca Musa Muhammed.