25-letni Bośniak jest wychowankiem Borussii Berlin. W 2009 roku trafił do Hamburger SV. W Niemczech został spisany na starty i został oddany bez żalu do Ferencváros.
Na Węgrzech odżył. Jego dobra postawa przykuła uwagę włodarzy Evertonu, którzy zdecydowali się na jego transfer. W 2014 roku Bešić trafił do Anglii za blisko 5 milionów euro. Na Wyspach Brytyjskich rozegrał łącznie 56 spotkań.
Ten sezon jest dla niego szczególnie nieudany. Bośniak wystąpił w zaledwie dwóch spotkaniach ligowych. Niezadowolony ze słabnącej pozycji w zespole pomocnik zdecydował się na wypożyczenie.
Chęć pozyskania 25-latka objawił Middlesbrough. Bešić trafi do Championship na zasadzie półrocznego wypożyczenia.
Po 29. kolejkach ekipa z Riverside Stadium zajmuje w ligowej tabeli ósme miejsce.