28-letni bramkarz urodził się w Rosji, lecz od 2000 roku przebywał w Grecji, skąd pochodzi jego matka. To właśnie na Półwyspie Bałkańskim rozpoczynał on karierę. Piłkarskie szlify zbierał w AO Ksanti, z której był wypożyczony do Eordaikos 2007. W sezonie 2010/2011 wystąpił on w 27 spotkaniach, po czym wrócił do klubu macierzystego.
W międzyczasie Łodygin rozegrał trzy mecze w reprezentacji Grecji do lat 21. Następnie wywalczył on sobie miejsce w podstawowym składzie AO Ksanti, co zaowocowało powołaniem do dorosłej reprezentacji. Za pierwszym razem nie było mu dane zadebiutować. Natomiast w tym drugim przypadku odmówił. Był on już bowiem piłkarzem Zenitu, do którego trafił za kwotę 800 tysięcy euro.
Niedługo potem w listopadzie 2013 roku po raz pierwszy założył on trykot reprezentacji Rosji. Od tego czasu wystąpił on w 11 spotkaniach i reprezentował „Sborną” na Mistrzostwa Świata w 2014 roku oraz Mistrzostwach Europy w 2016 roku.
Od pierwszych chwili w zespole „Piterców” pełnił on rolę podstawowego golkipera. Co prawda debiutancki sezon nie był dla niego zbyt udany (11 czystych kont w 42 meczach), jednak już w kolejnej kampanii 28-latek zaprezentował się o wiele lepiej (25 czystych kont w 44 spotkaniach).
W pewnym momencie Łodygin zatracił pewność siebie, przez co jego umiejętności były coraz częściej podważane. Szczególnie fatalne pod tym względem były sezony 2015/2016 i 2016/2017. Z tego też powodu stracił miejsce w składzie na rzecz Andrieja Łuniowa.
Teraz na pomoc przyszedł mu Olympiakos, który zdecydował się na jego półroczne wypożyczenie. Najprawdopodobniej bramkarz nie wróci już do Petersburga, gdyż po obecnym sezonie wygasa jego umowa z Zenitem.