19-latek trafił do "Kolejorza" zimą 2013 roku z Ostrovii Ostrów Wielkopolski. Podczas czteroletniego pobytu występował w drużynach młodzieżowych, rezerwach pierwszego zespołu i na wypożyczeniu w czwartoligowej Warcie Międzychód.
Zimą tego roku Dąbrowski był testowany przez Hibernian. Wypadł na tyle dobrze, że Szkoci zaproponowali mu półroczne wypożyczenie. Pomimo że nie zdążył jeszcze zadebiutować w ekipie z Easter Road Stadium, jej władze zdecydowały się na jego wykupienie.
Młody bramkarz będzie trzecim polskim bramkarzem w drużynie z Edynburga. Wcześniej grali tam Zbigniew Małkowski i Grzegorz Szamotulski.