Martin Erlić trafił do Włoch z juniorów HNK Rijeka we wrześniu 2014 roku. Wówczas to pozyskała go Parma. Tam jednak furory nie zrobił i nie zdołał nawet zadebiutować w pierwszej drużynie.
Następnie zgłosiło się po niego Sassuolo, ale i w tej ekipie nie było mu dane zaprezentować się w zespole seniorskim. Zamiast tego grał w Primaverze.
Dopiero latem 2019 roku kariera środkowego obrońcy nabrała rozpędu. Wówczas to pozyskała go Spezia. Tam na początku miał problemy z wywalczeniem sobie miejsce, ale z czasem wskoczył do podstawowej jedenastki. Miejsca już nie oddał.
W trwającym sezonie jest on jednym z liderów beniaminka, którego śmiało można określić mianem rewelacji rozgrywek. Dobra postawa 23-latka została doceniona przez ligowych potentatów.
Zdaniem CalcioMercato.com Erlić znalazł się na celowniku AC Milanu. Ekipa z San Siro poszukuje bowiem defensora, który mógłby wzmocnić rywalizację w defensywie. Poza ekipą prowadzoną przez Stefano Piolego chce go również Napoli.
Chorwat rozegrał w trwającym sezonie 21 spotkań. W jednym z nich udało mu się zdobyć bramkę. Ta sytuacja miała miejsce w starciu z jego byłym zespołem, Sassuolo.
Kontrakt wiążę go ze Spezią do 30 czerwca 2024 roku.