17-latek do czerwonej części Merseyside trafił latem 2022 roku, gdy za około 710 tysięcy euro wykupiono go z Celticu. Początkowo występował w drużynie do lat 18, ale szybko awansował do ekipy do lat 21, a w listopadzie zadebiutował w Pucharze Ligi w pierwszym zespole. Wszedł wówczas na ostatnie 16 minut wygranego po rzutach karnych spotkania z Derby County.
Natomiast w Premier League zawodnik, który może być ustawiany jako napastnik lub skrzydłowy, po raz pierwszy pojawił się na murawie 26 grudnia w zwycięskim starciu z Aston Villą (3:1), gdy został wpuszczony na nią w 88. minucie. W sumie w zeszłym sezonie otrzymał od Jürgena Kloppa pięć szans (w sumie 60 minut), aby zaprezentować swoje umiejętności.
W obecnej kampanii reprezentant Szkocji do lat 21 zagrał tylko 13 minut w zremisowanej 1:1 potyczce pierwszej kolejki z Chelsea. Cały czas czeka on na premierowe trafienie w seniorskiej piłce. W sezonie 2021/2022 dwukrotnie pojawiał się na boisku z ławki w Scottish Premiership w barwach Celticu.
Nie wiadomo, jak długim dokładnie kontraktem Doak związał się z „The Reds”. Pewne jest natomiast to, że posiada on spory talent, a według szkockich mediów już w październiku może otrzymać powołanie do seniorskiej kadry narodowej.